Diketahui \( \vec{p} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \) dan \( \vec{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \). Apabila \(\alpha\) adalah sudut yang dibentuk antara vektor \( \vec{p} \) dan \( \vec{q} \), maka \( \tan \alpha = \cdots \) (UN 2013)
- \( \frac{1}{6} \sqrt{6} \)
- \( \frac{1}{7} \sqrt{7} \)
- \( \frac{1}{6} \sqrt{7} \)
- \( \sqrt{6} \)
- \( \sqrt{7} \)
Pembahasan:
Berdasarkan rumus aturan perkalian titik dua vektor, diperoleh berikut:
\begin{aligned} \cos \alpha &= \frac{\vec{p} \cdot \vec{q} }{ |\vec{p}| |\vec{q}| } \\[8pt] \cos \alpha &= \frac{(-3)(1)+(3)(3)+(0)(-2)}{\sqrt{(-3)^2+3^2+0^2} \cdot \sqrt{1^2+3^2+(-2)^2} } \\[8pt] &= \frac{-3+9+0}{\sqrt{9+9+0} \cdot \sqrt{1+9+4}} \\[8pt] &= \frac{6}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{14}} = \frac{6}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{14} } \\[8pt] &= \frac{6}{3 \cdot 2\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \end{aligned}
Karena \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} \), maka \( \tan \alpha = \sqrt{6} \).
Jawaban D.